Connectivity Component

Def

SCC

Tarjan

如果结点 u 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 u 为根的子树中。结点 u 被称为这个强连通分量的根。

反证法：假设有个结点 v 在该强连通分量中但是不在以 u 为根的子树中，那么 u 到 v 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 u 是第一个访问的结点矛盾了。得证。

Details

在 Tarjan 算法中为每个结点 u 维护了以下几个变量：

深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序。

在 u 的子树中能够回溯到的最早的已经在栈中的结点。设以 u 为根的子树为 Subtree_u。 low_u 定义为以下结点的 dfn 的最小值： Subtree_u 中的结点；从 Subtree_u 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。

对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 u 使得

。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 dfn 和 low 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。

int dfn[N], low[N], dfncnt, s[N], in_stack[N], tp;
int scc[N], sc;  // 结点 i 所在 SCC 的编号
int sz[N];       // 强连通 i 的大小

void tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u, in_stack[u] = 1;
  for (int i = h[u]; i; i = e[i].nex) {
    const int &v = e[i].t;
    if (!dfn[v]) {
      tarjan(v);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
    } else if (in_stack[v]) {
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
  }
  if (dfn[u] == low[u]) {
    ++sc;
    while (s[tp] != u) {
      scc[s[tp]] = sc;
      sz[sc]++;
      in_stack[s[tp]] = 0;
      --tp;
    }
    scc[s[tp]] = sc;
    sz[sc]++;
    in_stack[s[tp]] = 0;
    --tp;
  }
}

Kosaraju

该算法依靠两次简单的 DFS 实现：

第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有未访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。

第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点（实现为stack顶层）作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。

两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 O(n+m)。

// g 是原图，g2 是反图

void dfs1(int u) {
  vis[u] = true;
  for (int v : g[u])
    if (!vis[v]) dfs1(v);
  s.push_back(u);
}

void dfs2(int u) {
  color[u] = sccCnt;
  for (int v : g2[u])
    if (!color[v]) dfs2(v);
}

void kosaraju() {
  sccCnt = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if (!vis[i]) dfs1(i);
  for (int i = n; i >= 1; --i)
    if (!color[s[i]]) {
      ++sccCnt;
      dfs2(s[i]);
    }
}

Garbow

Garbow 算法是 Tarjan 算法的另一种实现，Tarjan 算法是用 dfn 和 low 来计算强连通分量的根，Garbow 维护一个节点栈，并用第二个栈来确定何时从第一个栈中弹出属于同一个强连通分量的节点。

从节点 w 开始的 DFS 过程中，当一条路径显示这组节点都属于同一个强连通分量时，只要栈顶节点的访问时间大于根节点 w 的访问时间，就从第二个栈中弹出这个节点，那么最后只留下根节点 w。在这个过程中每一个被弹出的节点都属于同一个强连通分量。

当回溯到某一个节点 w 时，如果这个节点在第二个栈的顶部，就说明这个节点是强连通分量的起始节点，在这个节点之后搜索到的那些节点都属于同一个强连通分量，于是从第一个栈中弹出那些节点，构成强连通分量。

Last modified: 06 February 2024